Математика → Теория → Справочник → Начала математического анализа → Производная → Экстремумы функции

Экстремумы функции

Определение 1. Точка x_0 называется точкой максимума [точкой минимума] функции y = f(x) , если существует такая $\delta$ - окрестность $(x_0 - \delta ;x_0 + \delta )$ точки x_0 , что для всех значений $x \ne x_0$ из этой окрестности выполняется неравенство f(x) < f(x_0 ) [f(x) > f(x_0 )] .

Определение 2. Значение функции в точке максимума (точке минимума) называется максимумом (минимумом) функции y = f(x) .

Определение 3. Точки минимума и точки максимума называются точками экстремума функции y = f(x) , а значения функции в этих точках — экстремумами функции y =
f(x) .

Теорема 1. Если функция y = f(x) непрерывна в точке x_0 , а f'(x_0 ) > 0 на промежутке $(a;\,\,x_0 )$ и f'(x) < 0 на промежутке $(x_0 ;\,\,b)$ , то x_0 является точкой максимума функции .

Теорема 2. Если функция y = f(x) непрерывна в точке x_0 , а f'(x) < 0 на промежутке $(a;\,\,x_0 )$ и f'(x) > 0 на промежутке $(x_0 ;\,\,b)$ , то x_0 — точка минимума функции .

Теорема 3 (Ферма). Пусть функция определена в некоторой окрестности точки x_0 и дифференцируема в этой точке. Если x_0 — точка экстремума функции , то f'(x_0 ) = 0 .

Теорема 4. Пусть функция дифференцируема в некоторой окрестности точки x_0 , кроме, быть может, самой точки x_0 , и непрерывна в точке x_0 . Тогда, если f'(x) меняет знак с «» на «» (с «» на «») при переходе через точку x_0 , то x_0 — точка минимума (точка максимума) функции .

Оставить комментарий
Сообщить об ошибке