Математика → Теория → Справочник → Начала математического анализа → Производная → Производная и ее свойства

Производная и ее свойства

Определение: Пусть функция f(x) определена в точке и в некоторой ее окрестности. Дадим аргументу приращение $\Delta x$ , такое, чтобы не выйти из указанной окрестности. Найдем соответствующее приращение функции $\Delta f$ и составим отношение. Если существует предел этого отношения при $\Delta x$ стремящемся к нулю, то указанный предел называют производной функции f(x) в точке и обозначают f'(x) . Иначе говоря:

$y' = f'(x) = \mathop {\lim }\limits_{\Delta x\; \to \;0} \frac{{\Delta f}}{{\Delta x}} = \mathop {\lim }\limits_{\Delta x\; \to \;0} \frac{{f(x + \Delta x) - f(x)}}{{\Delta x}}$ ( $\Delta f$ — приращение функции, $\Delta x$ — приращение аргумента).

Если в каждой точке из множества у функции f(x) существует производная, то такая функция называется дифференцируемой на множестве .

Геометрический смысл производной: f'(x_0 ) — угловой коэффициент касательной к графику функции y = f(x) в точке $(x_0 \;;\;f(x_0 ))$ уравнение касательной в этой точке y = f(x_0 ) + f'(x_0 )(x - x_0 ) .

Правила дифференцирования

Пусть функции и определены и дифференцируемы на некотором множестве , c_1 и c_2 — любые действительные числа. Тогда на множестве справедливы соотношения:

,
$(f \cdot g)' = f' \cdot g + f \cdot g'$ ,
$\left( {\frac{f}{g}} \right)^\prime = \frac{{f' \cdot g - f \cdot g'}}{{g^2 }}$ , $g \ne 0$ ,
$[f(g(x))]' = f'(g(x)) \cdot g'(x)$

Основные формулы дифференцирования.

$C' = 0\;(C = const)$
$(kx + b)' = k\;;\;x' = 1$
$(x^a )' = ax^{a - 1}$
$(\sqrt x )' = \frac{1}{{2\sqrt x }}$
$(a^x )' = a^x \cdot \ln a$
$(\ln x)' = \frac{1}{x}$
$(\log _a x)' = \frac{1}{{x\ln a}}$
$(\sin x)' = \cos x$
$(\cos x)' = - \sin x$
$({\mathop{\rm tg}\nolimits} x)' = \frac{1}{{\cos ^2 x}}$
$({\mathop{\rm ctg}\nolimits} x)' = - \frac{1}{{\sin ^2 x}}$
$(\arcsin x)' = ( - \arccos x)' = \frac{1}{{\sqrt {1 - x^2 } }}{\kern 1pt} \;(|x| < 1)$
$({\mathop{\rm arctg}\nolimits} x)' = ( - {\mathop{\rm arcctg}\nolimits} x)' = \frac{1}{{1 + x^2 }}$

Оставить комментарий

Сообщить об ошибке