Математика → Теория → Справочник → Начала математического анализа → Свойства функции → Монотонность функции

Монотонность функции

Определение 1: Функции называется возрастающей [убывающей] на множестве $M \subseteq D(f)$ , если для любых значений аргумента x_1 ;x_2 из выполняется условие $x_2 > x_1 \Rightarrow f(x_2 ) > f(x_1 )$ $[x_2 > x_1 \Rightarrow f(x_2 ) < f(x_1 )]$ .

Определение 2: Промежутки области определения, на которых функция возрастает или убывает, называются промежутками монотонности функции.

Определение 3: Функция называется возрастающей [убывающей], если для любых значений аргумента x_1 ;x_2 из D(f) выполняется условие $x_2 > x_1 \Rightarrow f(x_2 ) > f(x_1 )$ $[x_2 > x_1 \Rightarrow f(x_2 ) < f(x_1 )]$ .

Определение 4: Возрастающие и убывающие функции называются монотонными.

Свойство 1. Пусть функция возрастает (убывает) на множестве и С – любое число. Тогда функция , также возрастает (убывает) на множестве .
Свойство 2. Пусть функция возрастает (убывает) на множестве и C > 0. Тогда функция , также возрастает (убывает) на множестве .
Свойство 3. Пусть функция возрастает (убывает) на множестве и C < 0. Тогда функция , убывает (возрастает) на множестве .
Свойство 4. Пусть функция возрастает (убывает) и знакопостоянна на множестве . Тогда функция $g(x) = {\textstyle{1 \over {f(x)}}}$ , убывает (возрастает) на множестве .
Свойство 5. Сумма возрастающих (убывающих) функций есть функция возрастающая (убывающая).
Свойство 6. Произведение возрастающих (убывающих) неотрицательных функций есть функция возрастающая (убывающая).

Теорема 1. Если функция y = g(x) возрастает на множестве , а функция y = f(x) убывает на множестве , то уравнение f(x) = g(x) имеет на не более одного корня.

Теорема 2. Если функция y = g(x) монотонна на множестве , а функция y = f(x) постоянна на множестве , то уравнение f(x) = g(x) имеет на не более одного корня.

Оставить комментарий
Сообщить об ошибке