Математика → Теория → Справочник → Геометрия → Стереометрия → Основные теоремы и формулы стереометрии → Векторы

Векторы

Если $\overrightarrow i, \overrightarrow j, \overrightarrow k$ — попарно перпендикулярные единичные векторы, так называемый ортонормированный базис, то любой вектор $\overrightarrow a$ пространства может быть единственным образом разложен по этим векторам, т.е. представлен в виде

$\overrightarrow a = a_1 \overrightarrow i + a_2 \overrightarrow j + a_3 \overrightarrow k$ .

Числа $\{ a_x ;a_y ;a_z \}$ называются декартовыми координатами вектора $\overrightarrow a$ в базисе $\overrightarrow i \;,\overrightarrow j \;,\overrightarrow k$ . Декартовые координаты вектора являются проекциями этого вектора на соответствующие оси системы координат:

$a_x = np_x \overrightarrow a \;;\;a_y = np_y \overrightarrow a \;;\;a_z = np_z \overrightarrow a \;.$

Если числа a_x ;a_y ;a_z отличны от нуля, то $\overrightarrow a$ можно изобразить с помощью диагонали прямоугольного параллелепипеда, у которого длины ребер равны $a_x ,\;a_y ,\;a_z \;.$

Если вектор $\overrightarrow a$ отложенный от точки с координатами (x_1 ;y_1 ;z_1 ) и кончаются в точке с координатами (x_2 ;y_2 ;z_2 ) , то координаты вектора определяются через координаты начала и конца вектора по формулам:

a_1 = x_2 - x_1

a_2 = y_2 - y_1

a_3 = z_2 - z_1

то есть:

$\overrightarrow {AB} \{ x_2 - x_1 ;\;y_2 - y_1 ;\;z_2 - z_1 \} \;.$

Если $\overrightarrow a \;\{ a_1 ;a_2 ;a_3 \}$ и $\overrightarrow b \;\{ b_1 ;b_2 ;b_3 \}$ — два произвольных вектора, то:

Координаты суммы векторов равны сумме соответствующих координат слагаемых

$\overrightarrow a \; + \overrightarrow b = \{ a_1 + b_1 ;a_2 + b_2 ;a_3 + b_3 \} .$ .
Координаты разности векторов равны разности соответствующих координат этих векторов
$\overrightarrow a \; - \overrightarrow b = \{ a_1 - b_1 ;a_2 - b_2 ;a_3 - b_3 \} .$
Координаты произведения на число $\lambda$ равны произведению соответствующих координат векторов на данное число
$\lambda \overrightarrow a = \{ \lambda a_1 ;\lambda a_2 ;\lambda a_3 \} .$
Линейная комбинация $\overrightarrow c = \lambda \overrightarrow a + \mu \overrightarrow b$ векторов $\overrightarrow a$ и $\overrightarrow b$ , где $\lambda$ и $\mu$ — произвольные числа, соответствуют координаты
$\overrightarrow c = \{ \lambda a_1 + \mu b_1 ;\lambda a_2 + \mu b_2 ;\lambda a_3 + \mu b\} \;.$

Скалярное произведение векторов определяется как

$(\overrightarrow a \; \cdot \overrightarrow b ) = |\overrightarrow a ||\overrightarrow b | \cdot \cos \varphi \;,\;\;\varphi = \widehat{(\overrightarrow a \; \cdot \overrightarrow b )}$

Величина скалярного произведения определяется через координаты векторов по формуле

$\overrightarrow a \; \cdot \overrightarrow b = a_1 \cdot b_1 + a_2 \cdot b_2 + a_3 \cdot b_3 \;\;.$

Длина вектора $\overrightarrow a$ с координатами $\;\{ a_1 ;a_2 ;a_3 \}$ дается формулой

$|\overrightarrow a |\; = \;\sqrt {a_1^2 + a_2^2 + a_3^2 } .$

Угол между векторами $\overrightarrow a$ и $\overrightarrow b$ определяется из равенства

$\cos \varphi = \frac{{a_1 b_1 + a_2 b_2 + a_3 b_3 }}{{\sqrt {a_1^2 + a_2^2 + a_3^2 } \cdot \;\sqrt {b_1^2 + b_2^2 + b_3^2 } }}.$

Всякое линейное уравнение

Ax + By + Cz + D = 0

связывающие координаты x,y,z определяет множество точек пространства, лежащих на плоскости, и, наоборот, каждую плоскость можно задать линейным уравнением с тремя неизвестными, имеющих по крайне мере один ненулевой коэффициент при переменных.

Угол между двумя плоскостями $A_{\;1} x + B_1 y + C_1 z + D_{\;1} = 0$ и $A_{\;2} x + B_2 y + C_2 z + D_{\;2} = 0$ находится как угол между перпендикулярными векторами $\overrightarrow n _1 = \{ A_1 ,B_1 ,C_1 \}$ и $\overrightarrow n _2 = \{ A_2 ,B_2 ,C_2 \}$ , т.е. по формуле

$\cos \varphi = \frac{{A_1 A_2 + B_1 B_2 + C_1 b_2 }}{{\sqrt {A_1^2 + B_1^2 + C_1^2 } \cdot \;\sqrt {A_2^2 + B_2^2 + C_2^2 } }}.$

Расстояние от точки M_0 (x_0 ;y_0 ;z_0 ) до плоскости Ax + By + Cz + D = 0 дается формулой

$h = \frac{{|Ax_0 + By_0 + Cz_0 + D|}}{{\sqrt {A^2 + B^2 + C^2 } }}.$

Оставить комментарий
Сообщить об ошибке