Математика → Теория → Справочник → Геометрия → Планиметрия → Правильные n-угольники

Правильные n-угольники

Правильный n-угольник — n-угольник, у которого равны все стороны и все углы.

Теорема. Все углы правильного n-угольника меньше $180^\circ$ . (Если продлить любую из сторон, правильный n-угольник будет лежать по одну сторону от проведенной прямой).

Центр правильного n-угольника — это точка, равноудаленная от всех его вершин и от всех его сторон.

Теорема. У любого правильного n-угольника есть центр.

Теорема. Вокруг правильного n-угольника можно описать только одну окружность.

Теорема (об углах правильного n-угольника):

Угол между биссектрисами двух соседних углов равен: $\frac{{360^\circ }}{n}$ .
Угол правильного n-угольника: $2\alpha = 180^\circ - \frac{{360^\circ}}{n}$ .
Сумма углов правильного n-угольника равна: $n \cdot 2\alpha = 180^\circ n - 360^\circ = 180^\circ (n - 2)$ .
Число диагоналей в правильном n-угольнике: $\frac{{n \cdot (n - 2)}}{2}$ .

Элементы правильных n-угольников:

Радиус вписанной окружности: $r = \frac{a}{2} \cdot {\mathop{\rm ctg}\nolimits} \frac{{180^\circ }}{n}$ .
Сторона правильного n-угольника: $a = 2r \cdot {\mathop{\rm tg}\nolimits}\frac{{180^\circ }}{n}$ .
Радиус описанной окружности: $R = \frac{a}{2}\cdot \sin\frac{{180^\circ }}{n}$ .
Площадь правильного n-угольника: $S = S_\Delta \cdot n$ , $S = n \cdot \frac{{a^2 }}{4} \cdot {\mathop{\rm ctg}\nolimits} \frac{{180^\circ }}{n}$ .
Пусть две соседние стороны правильного n-угольника и его диагональ образуют треугольник. Тогда, если длины сторон правильного n-угольника равны , то длина этой диагонали равна: $d = 2a \cdot \cos \frac{{180^\circ }}{n}$ .

Оставить комментарий
Сообщить об ошибке