Математика → Теория → Справочник → Геометрия → Планиметрия → Векторы → Скалярное произведение векторов

Скалярное произведение векторов

Скалярным произведением двух ненулевых векторов называется число, равное произведению длин этих векторов на косинус угла между ними. Иными словами, скалярное произведение векторов — это число.

Если через $\varphi$ обозначить угол между векторами $\overrightarrow a$ и $\overrightarrow b$ , а через $\overrightarrow a \cdot \overrightarrow b$ — их скалярное произведение, то $\overrightarrow a \cdot \overrightarrow b = |\overrightarrow a| \cdot |\overrightarrow b|\cos \varphi$ .

Необходимым и достаточным условием перпендикулярности двух ненулевых векторов является равенство нулю их скалярного произведения: $\overrightarrow a \bot \overrightarrow b \Leftrightarrow \overrightarrow a \cdot \overrightarrow b = 0\;(\overrightarrow a \ne 0,\;\overrightarrow b \ne 0)$ .

Свойства скалярного произведения:

$\overrightarrow a \cdot \overrightarrow b = \overrightarrow b \cdot \overrightarrow a$ (переместительный закон).

$(\lambda \cdot \overrightarrow a) \cdot \overrightarrow b = \lambda \cdot \overrightarrow a \cdot \overrightarrow b$ (сочетательный закон).

$\overrightarrow a \cdot (\overrightarrow b + \overrightarrow c) = \overrightarrow a \cdot \overrightarrow b + \overrightarrow a \cdot \overrightarrow c$ (распределительный закон).

Скалярное произведение выражается через координаты сомножителей по формуле: $\overrightarrow a \cdot \overrightarrow b = a_1 b_{\;1} + a_2 b_{\;2}$ .

Отсюда, в частности, следует:

$(\overrightarrow a\overrightarrow a) = \overrightarrow a^2 = |\overrightarrow a|^2 = a_1^2 + a_2^2$ .

$|\overrightarrow a| = \sqrt {a_1^2 + a_2^2 }$ .

Необходимым и достаточным условием перпендикулярности ненулевых векторов $\overrightarrow a\;\{ a_1 ,\;a_2 \}$ и $\overrightarrow b\;\{ b_{\;1} ,\;b_2 \}$ является равенство: a_1 b_1 + a_2 b_2 = 0 .

Угол между векторами $\overrightarrow a \left\{ {a_1 ,a_2 } \right\}$ и $\overrightarrow b \left\{ {b_1 ,b_2 } \right\}$ определяется по формуле:

$\cos \varphi = \frac{{a_1 b_1 + a_2 b_2 }}{{\sqrt {a_1^2 + a_2^2 } \cdot \sqrt {b_1^2 + b_2^2 }}}$ .

Поскольку косинус острого угла положителен, а косинус тупого угла — отрицателен, то, если скалярное произведение положительно, векторы образуют острый угол, а если отрицательно — тупой.

Оставить комментарий
Сообщить об ошибке