Математика → Теория → Справочник → Геометрия → Планиметрия → Векторы → Разложение вектора на компоненты. Координаты вектора

Разложение вектора на компоненты. Координаты вектора

Если $\overrightarrow a$ и $\overrightarrow b$ — два неколлинеарных вектора в плоскости, а $\overrightarrow z$ — произвольный вектор в той же плоскости, то всегда существуют такие числа $\alpha$ и $\beta$ , что $\overrightarrow z = \alpha \overrightarrow a + \beta \overrightarrow b$ . В этом случае говорят, что вектор $\overrightarrow z$ разложен по векторам $\overrightarrow a$ и $\overrightarrow b$ .

Если $\overrightarrow i$ и $\overrightarrow j$ — неколлинеарные единичные векторы (т. е. вектора, модуль которых равен единице) $|\overrightarrow i| = |\overrightarrow j| = 1$ , то произвольный вектор $\overrightarrow {AB}$ плоскости может быть представлен в виде $\overrightarrow {AB} = \overrightarrow a = a_1 \overrightarrow i + a_2 \overrightarrow j$ . В этом случае говорят, что вектор $\overrightarrow {AB}$ имеет в системе $\overrightarrow i$ и $\overrightarrow j$ координаты $\{ a_1 ;a_2\}$ .

Если векторы $\overrightarrow i$ и $\overrightarrow j$ взаимно перпендикулярны, причем вектор $\overrightarrow j$ может быть получен из вектора $\overrightarrow i$ поворотом против часовой стрелки, то говорят, что прямые, в которых лежат $\overrightarrow i$ и $\overrightarrow j$ , образуют декартову прямоугольную систему координат, а числа $\{ a_1 ;a_2 \}$ называются декартовыми координатами вектора $\overrightarrow a$ .

Пусть точка с координатами $\{ x_1 ;y_1 \}$ — начало вектора $\overrightarrow a$ , а точка с координатами $\{ x_2 ;y_2 \}$ — его конец. Тогда координаты вектора связаны с координатами точек и формулами: a_1 = x_2 - x_1 , a_2 = y_2 - y_1 , т. е. декартовы координаты вектора равны разности соответствующих координат конца вектора и его начала.

Декартовы координаты вектора $\overrightarrow a$ являются проекциями этого вектора на соответственные оси систем координат: $a_1 = np_x \overrightarrow a$ , $a_2 = np_x \overrightarrow a$ .

Пусть вектор $\overrightarrow a$ имеет координаты $\{ \overrightarrow a_1 ,\;\overrightarrow a_2 \}$ , что записывается в виде $\overrightarrow a\;\{ \overrightarrow a_1 ,\;\overrightarrow a_2 \}$ , а вектор $\overrightarrow b$ — $\{ \overrightarrow b_{\;1} ,\;\overrightarrow b_2 \}$ , или $\overrightarrow b\;\{ \overrightarrow b_{\;1} ,\;\overrightarrow b_2 \}$ .

Тогда:

$(\overrightarrow a + \overrightarrow b)\;\{ a_1 + b_{\;1} ,\;a_2 + b_2 \}$ ,

$(\overrightarrow a - \overrightarrow b)\;\{ a_1 - b_{\;1} ,\;a_2 - b_2 \}$ ,

$\lambda \overrightarrow a\;\{ \lambda a_1 ,\;\lambda a_2 \}$ ,

$(\lambda \overrightarrow a + \mu \overrightarrow b)\;\{ \lambda a_1 + \mu b_1 ,\;\lambda a_2 + \mu b_2 \}$ ,

т. е. действиям с векторами отвечают идентичные действия с их координатами.

Модуль вектора $\overrightarrow a$ определяется через его декартовы координаты посредством равенства: $|\overrightarrow a|\; = \sqrt {a_1^2 + a_2^2 }$ , а единичный вектор $\overrightarrow e$ , имеющий с вектором $\overrightarrow a$ одинаковое направление, записывается в виде $\overrightarrow e = \frac{{\overrightarrow a}}{{|\overrightarrow a|}}$ и имеет координаты: $\left\{ {\frac{{a_1 }}{{\sqrt {a_1^2 + a_2^2 } }},\;\left. {\frac{{a_2 }}{{\sqrt {a_1^2 + a_2^2 } }}} \right\}} \right.$ .

Оставить комментарий
Сообщить об ошибке