Сумма и разность векторов

Два вектора складываются по правилу параллелограмма. Для этого оба вектора откладываются из одной точки и строится параллелограмм, сторонами которого являются вектора.

Чтобы получить сумму большего числа векторов, нужно отложить от произвольной точки первый вектор , а каждый последующий вектор (...) отложить от конца предыдущего. Суммой будет вектор, начало которого совпадает с началом (точка ), а конец — с концом (точка ) последнего вектора.

Разностью двух векторов и называется такой вектор , который будучи сложенным с вектором , даст . Разность двух векторов и представляется направленным отрезком, соединяющим концы этих векторов и имеющим направление «к концу того вектора, из которого вычитают».

Если для вектора ввести противоположный ему вектор , который коллинеарен вектору , имеет тот же модуль, но направлен в противоположную сторону, то разность векторов и представляется как сумма вектора и вектора , т. е. .

Сумма противоположных векторов равна нулю: .

Под произведением вектора на число понимается такой вектор, который коллинеарен вектору , имеет модуль и направлен в ту же сторону, что и — если положительно, и в противоположную — если отрицательно. Геометрически умножение вектора на число означает растяжение или сжатие вектора и, возможно, перемену его направления на противоположный.

Имеют место равенства:

,

,

в которых и произвольные действительные числа.

Вектор называется линейной комбинацией векторов и . Если и — произвольные действительные числа, а и — неколлинеарные вектора, то варьируя эти числа, можно получить произвольный вектор плоскости.

Если и — два неколлинеарных вектора, отложенные от точки , то вектор , оканчивающийся в середине отрезка , равен полусумме векторов и , т. е. .

В общем случае, вектор точки , делящий отрезок в соотношении ( и — положительные числа) и начинающийся в точке , дается формулой: .

Оставить комментарий
Сообщить об ошибке