Математика → Теория → Справочник → Геометрия → Планиметрия → Треугольники и их элементы → Теоремы об отрезках в треугольнике

Теоремы об отрезках в треугольнике

Теорема Чевы. Пусть на сторонах треугольника ABC выбраны точки, $A_{1} \in BC$ , $B_{1} \in AC$ , $C_1 \in AB$ . Тогда отрезки $AA_{1}, BB_{1}, CC_1$ пресекаются в одной точке тогда и только тогда, когда выполняется равенство: $\frac{{AB_{1}}}{{B_{1} C}} \cdot \frac{{CA_{1} }}{{A_{1} B}} \cdot\frac{{BC_{1} }}{{C_{1} A}} = 1$ .

Обобщенная теорема Чевы. Пусть прямые $a,\;b,\;c$ проходят через вершины $A,\;B,\;C$ треугольника ABC и пересекают прямые $BC,\;CA,\;AB$ в точках $A_{1}, \;B_{1}, \;C_{1}$ соответственно. Тогда прямые $a,\;b,\;c$ пересекаются в одной точке или параллельны тогда и только тогда, когда имеет место равенство: $\frac{{AB_{1} }}{{B_{1} C}} \cdot \frac{{CA_{1} }}{{A_{1} B}} \cdot \frac{{BC_{1} }}{{C_{1} A}} = 1$ .

Теорема Менелая. Пусть дан треугольник ABC и точки $C_1, \;B_{1}, \,A_{1}$ принадлежат соответственно прямым $AB,\;AC,\;BC$ . Точки $A_{1}, \,B_{1}, \;C_1$ лежат на одной прямой тогда и только тогда, когда выполняется равенство: $\frac{{AC_1 }}{{C_1 B}} \cdot \frac{{BA_{1}}}{{A_{1} C}} \cdot \frac{{CB_{1} }}{{B_{1} A}} = - 1$ .

Оставить комментарий
Сообщить об ошибке